Anscombe, qui fêtera ses 32 ans ce samedi, est originaire de Nouvelle-Zélande où il a débuté le rugby et joué pour Auckland, les Blues et les Chiefs avant de migrer en 2014 vers le Pays de Galles où est née sa mère.
Pendant sept saisons, ce joueur polyvalent a porté les couleurs de Cardiff et le maillot du XV du Poireau sous les ordres de Warren Gatland, compilant 42 sélections et remportant au passage le Grand Chelem en 2019.
Engagé en 2023 par les Tokyo Sungoliath, une blessure contractée lors du Mondial 2023 en France le contraint à une opération et son contrat avec la franchise japonaise est rompu.
Après une année blanche, Anscombe a retrouvé les terrains avec Gloucester, disputant au total 14 matches de Premiership et de Challenge Cup, tous comme titulaire à l'ouverture. Il a également participé à trois matches du dernier Tournoi contre l'Irlande, l’Écosse et l'Angleterre. À Bayonne, Anscombe vient suppléer Camille Lopez, qui a décidé à 36 ans de mettre fin à sa carrière de joueur en juin.