L'entraîneur prendra en charge les All Blacks à partir de 2024, le mandat de Foster prenant fin après la Coupe du monde de cette année en France.
New Zealand Rugby a pris la décision inhabituelle de lancer le processus de nomination bien avant l'expiration du contrat de Foster, ce qui est largement considéré comme une tentative d'empêcher les équipes internationales de débaucher les principaux candidats.
"C'est particulièrement important dans un environnement de rugby mondial où il y a une concurrence importante pour les talents d'entraîneur d'élite", a déclaré la présidente de New Zealand Rugby, Patsy Reddy, dans un communiqué.
"Cela sera conclu dans les quatre à six prochaines semaines".
Foster a été mis sous pression l'année dernière à la suite d'une série de performances erratiques des All Blacks, notamment une défaite en série contre l'Irlande et leur première défaite à domicile contre l'Argentine.
Il a déclaré le mois dernier que les spéculations sur son avenir pourraient entraver la préparation de l'équipe à la Coupe du monde qui débutera en septembre.
"Ce qui est particulièrement frustrant, c'est qu'il semble que l'on se concentre sur l'établissement de calendriers basés sur ce que certains candidats préférés pensent être bon pour eux, au lieu de ce qui est potentiellement bon pour cette équipe des All Blacks", a-t-il déclaré à la radio Newstalk ZB.
Foster a admis qu'il était "très peu probable" qu'il continue, avec l'entraîneur très demandé des Canterbury Crusaders, Scott Robertson, présenté comme le favori pour le remplacer.
Ancien attaquant des All Blacks surnommé "Razor", Robertson entraîne depuis 2017 l'équipe nationale néo-zélandaise des Crusaders, qu'il a menée à six titres successifs de Super Rugby.
Plusieurs équipes internationales et de clubs ont manifesté leur intérêt pour l'attirer à l'étranger.
L'entraîneur principal du Japon, Jamie Joseph, également ancien attaquant des All Blacks, est un autre candidat important.