Les quadruples champions d'Angleterre en titre ont longtemps buté sur les "Toffees" de Liverpool, avant de s'en sortir grâce à Nico O'Reilly (85e) et Mateo Kovacic (90e+2).
A dix minutes près et avec un match nul, la perspective d'avenir aurait été bien plus sombre pour l'équipe de Pep Guardiola.
Mais l'entraîneur catalan a lancé Jérémy Doku pour forcer le verrou (78e) et son plan a fonctionné. L'ailier belge a mis au supplice la défense d'Everton et ses partenaires en ont profité.
Le déclic est venu du jeune O'Reilly, milieu de 20 ans reconverti en latéral gauche, qui a coupé un centre de Matheus Nunes et inscrit son deuxième but en deux journées. Puis Kovacic a fait le break en exploitant une passe en retrait d'Ilkay Gündogan.
Menace repoussée
Au classement, Manchester City passe à la quatrième place (58 points) d'une courte tête devant Nottingham Forest (5e, 57 pts), attendu lundi à Tottenham en conclusion de la 33e journée.
Cela permet, surtout, de repousser au moins provisoirement la menace de Chelsea (6e, 54 pts), en visite dimanche à Fulham, et d'Aston Villa (7e, 54 pts), hôte du troisième Newcastle (59 pts) samedi après-midi.
Dans la course aux places européennes, la mauvaise opération du jour revient à Bournemouth (8e, 49 pts), incapable de s'imposer chez une équipe de Crystal Palace (0-0) pourtant réduite à dix avant la mi-temps.
Brighton (10e, 48 pts) a de son côté vécu un cauchemar à Brentford, avec une défaite 4-2, une expulsion de l'attaquant Joao Pedro après un geste d'humeur, et une inquiétante sortie sur civière du défenseur Jan Paul van Hecke, victime d'un choc à la tête dans le temps additionnel.
C'est aussi dans le temps supplémentaire que Southampton, déjà relégué, a privé West Ham d'une victoire avec un but de Lesley Ugochukwu (90e+2, 1-1), milieu français prêté par Chelsea.
Les Hammers, seizièmes, n'ont plus gagné depuis le 27 février.